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अंकगणित की आधारभूत प्रमेय कक्षा 10

अभाज्य गुणनखंड से HCF और LCM निकालना, शब्द-प्रश्न हल करना और HCF × LCM के नियम का कारण सरल हिंदी में समझें।

About 3 min readReviewed by Codex (AI translation and content review)Syllabus NCERT 2026–27 reprint (selected topics)Updated 4/9/2026
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अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार 1 से बड़े पूर्णांक का अभाज्य गुणनखंडन, गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर, अद्वितीय होता है। अभाज्य संख्या 1 से बड़ी होती है और उसके ठीक दो धनात्मक भाजक होते हैं। इस प्रमेय से हर भाजक या गुणज की सूची बनाए बिना संख्याओं की तुलना कर सकते हैं।

अभाज्य गुणनखंड से HCF और LCM कैसे निकालें?

156 का गुणनखंडन

  1. 1156 ÷ 2 = 78, 78 ÷ 2 = 39, 39 ÷ 3 = 13।
  2. 213 अभाज्य है, इसलिए 156 = 2² × 3 × 13। गुणा करके मूल संख्या की जाँच करें।

72 और 120 की तुलना

  1. 172 = 2³ × 3²; 120 = 2³ × 3 × 5।
  2. 2HCF = 2³ × 3 = 24। दोनों संख्याओं को भाग देने के लिए समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घातें चाहिए।
  3. 3LCM = 2³ × 3² × 5 = 360। समान गुणज में दोनों संख्याओं के लिए पर्याप्त अभाज्य गुणनखंड होने चाहिए।

HCF × LCM दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर क्यों है?

किसी अभाज्य संख्या की a और b में घातें m और n मानें। अभाज्य गुणनखंड अनुपस्थित हो तो उसकी घात 0 लें। HCF में छोटी घात और LCM में बड़ी घात आती है। छोटी और बड़ी घात का योग m + n है, जो ab में उसी अभाज्य संख्या की घात है। हर अभाज्य गुणनखंड के लिए ऐसा ही होता है, इसलिए दोनों गुणनफल समान हैं।

संख्यात्मक जाँच

  1. 124 × 360 = 8640 और 72 × 120 = 8640।
  2. 2यह नियम तीन संख्याओं पर इसी रूप में लागू नहीं होता। 2, 4 और 8 के लिए HCF × LCM = 16, लेकिन तीनों का गुणनफल 64 है।

HCF और LCM के शब्द-प्रश्न

48 cm और 60 cm की रिबनों से सबसे लंबे बराबर टुकड़े बनाएँ

  1. 1टुकड़े की लंबाई दोनों रिबनों की लंबाई को पूरा भाग देनी चाहिए। इसलिए HCF(48,60) = 12 cm लें।
  2. 2पहली रिबन से 4 और दूसरी से 5 टुकड़े मिलेंगे। कुल 9 टुकड़े हैं; प्रत्येक की लंबाई 12 cm है।

दो घटनाएँ हर 8 और 12 मिनट में दोहराती हैं और अभी साथ हुई हैं

  1. 1अगला साझा समय दोनों अंतरालों का गुणज होगा।
  2. 2LCM(8,12) = 24 मिनट। तब पहली घटना 3 बार और दूसरी 2 बार दोहराएगी।

अपनी समझ जाँचें

  • 45 और 60 का HCF तथा LCM: 15 और 180।
  • 1 को अभाज्य गुणनखंड क्यों नहीं मानते? उसका केवल एक धनात्मक भाजक है और उससे गुणा करने पर संख्या नहीं बदलती।
  • क्या “सबसे बड़ा” शब्द देखकर हमेशा HCF लें? नहीं। समझें कि माँगी गई संख्या को दोनों राशियों में भाग देना है या उनका गुणज बनना है।

उत्तर सहित वर्कशीट — अंग्रेज़ी

वास्तविक संख्याओं के MCQ — अंग्रेज़ी

संदर्भ: NCERT गणित, वास्तविक संख्याएँ — अंग्रेज़ी संस्करण

Sources